Question

2．以下四个命题：
①?x₀∈R，使$ln（{x_0^2+1}）＜0$；
②若x≠kπ（k∈Z），则$sinx+\frac{1}{sinx}≥2$；
③若命题“￢p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；
④函数y=x³+2e^x在x=1处的切线过（0，-2）点．
其中真命题的序号是③④（把你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①根据特称命题结合对数函数的性质进行判断．
②根据基本不等式的性质和条件进行判断．
③根据复合命题真假关系进行判断．
④根据导数的几何意义进行判断．

解答 解：①∵x²+1≥1，∴ln（x²+1）≥ln1=0，
则?x₀∈R，使$ln（{x_0^2+1}）＜0$错误，故①错误；
②当x=-$\frac{π}{6}$，满足x≠kπ（k∈Z），但sinx+$\frac{1}{sinx}$=-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{-\frac{1}{2}}$=-$\frac{1}{2}-2$=-$\frac{5}{2}$，则$sinx+\frac{1}{sinx}≥2$错误，故②错误；
③若命题“￢p”与“p或q”都是真命题，则p是假命题，则命题q一定是真命题，成立，故③正确；
④当x=1时，y=1+2e，即切点坐标为（1，1+2e），
函数y=x³+2e^x在x=1处的导数f′（x）=3x²+2e^x，则f′（1）=3+2e，
则切线方程为y-（1+2e）=（3+2e）（x-1），
即y=（3+2e）x-3-2e+1+2e=（3+2e）x-2，
则当x=0时，y=-2，即此时切线过（0，-2）点．故④正确，
故答案为：③④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数，不等式以及导数的内容，综合性较强，难度中等．