Question

14．已知数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b_n}满足关系$\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+$$…+\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{2^n}$，数列{b_n}的前n项和为S_n，则S₅的值为（　　）

• A． -454
• B． -450
• C． -446
• D． -442

Answer 1

分析 数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，可得a_n=2n-1．数列{b_n}满足关系$\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+$$…+\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{2^n}$，n≥2时，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，可得：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，可得b_n=（1-2n）•2ⁿ．n=1时，可得b₁，即可得出．

解答 解：数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
数列{b_n}满足关系$\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+$$…+\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{2^n}$，
∴n≥2时，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
可得：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，可得b_n=（1-2n）•2ⁿ．
n=1时，$\frac{1}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，解得b₁=2．
S₅=2-3×2²-5×2³-7×2⁴-9×2⁵=-450．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．