Question

5．存在正实数b使得关于x的方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=b的正根从小到大排成一个等差数列，若点P（6，b）在直线nx+my-2mn=0上（m，n均为正常数），则m+4n的最小值为（　　）

• A． 5+2$\sqrt{6}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 7+4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由sinx+$\sqrt{3}$cosx=b，可得：2$sin（x+\frac{π}{3}）$=b．存在正数b，使得方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=b的正根从小到大排成一个等差数列，即有0＜b≤2．经过讨论可得：b=2，即有x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即为x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．点P（6，2）在直线直线nx+my-2mn=0上（m，n均为正常数），可得：$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$=1．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由sinx+$\sqrt{3}$cosx=b，可得：2$sin（x+\frac{π}{3}）$=b
存在正数b，使得方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=b的正根从小到大排成一个等差数列，
即有0＜b≤2．
若0＜b＜2，由y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象可得：直线y=b与函数y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象的交点的横坐标不成等差数列，若b=2，即有x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即为x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为2π．
由点P（6，2）在直线直线nx+my-2mn=0上（m，n均为正常数），∴6n+2m-2mn=0，化为：$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$=1．
则m+4n=（m+4n）$（\frac{3}{m}+\frac{1}{n}）$=7+$\frac{12n}{m}+\frac{m}{n}$≥7+2$\sqrt{\frac{12n}{m}×\frac{m}{n}}$=7+4$\sqrt{3}$，当且仅当m=2$\sqrt{3}$n=3+2$\sqrt{3}$时取等号．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数和差公式、等差数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．