Question

【题目】已知函数 （a＞0）．
（1）证明：当x＞0时，f（x）在 上是减函数 ，在上是增函数，并写出当x＜0时f（x）的单调区间；
（2）已知函数 ，函数g（x）=﹣x﹣2b，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x2）=h（x1）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：当x＞0时，

①设x1，x2是区间 上的任意两个实数，且x1＜x2，

则 = =（x1﹣x2） ，

∵x1，x2∈ ，且x1＜x2，

∴0＜x1x2＜a，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在 上是减函数，

②同理可证在f（x）在 上是增函数；

综上所述得：当x＞0时，f（x）在 上是减函数，在 上是增函数．

∵函数 是奇函数，根据奇函数图象的性质可得，

当x＜0时，f（x）在 是减函数，在 是增函数

（2）解：∵ （x∈[1，3]），

由（Ⅰ）知：h（x）在[1，2][1，3]上单调递减，[2，3]上单调递增，

∴h（x）min=h（2）=﹣4，h（x）max=maxh（3），h（1）=﹣3，

h（x）∈[﹣4，﹣3]，

又∵g（x）在[1，3]上单调递减，

∴由题意知，[﹣4，﹣3][﹣3﹣2b，﹣1﹣2b]，

于是有： ，解得 ．

故实数b的范围是

【解析】（1）利用函数单调性的定义可证明x＞0时的单调性，根据奇函数性质可求x＜0时f（x）的单调区间；（2）对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x2）=h（x1）成立，等价于h（x）的值域为g（x）值域的子集，利用函数单调性易求两函数值域；
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．