Question

【题目】如图平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=2，M为CD边的中点，沿BM将△CBM折起使得平面BMC⊥平面ABMD．

（1）求四棱锥C﹣ADMB的体积；
（2）求折后直线AB与平面AMC所成的角的正弦．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知∠DAB=60°，AB=AD=2，

M为边CD的中点，

∴△CMB是等边三角形，

取MB的中点O，则CO⊥MB，

又平面BMC⊥平面ABMD于MB，

则CO⊥平面ABMD，且CO= ．

= = ，

∴V四棱锥C﹣ADMB=

（2）解：∵∠DAB=60°，AB=AD=2，

M为边CD的中点，

∴AM=2 ，BM=2，

∴AM⊥BM，

又平面BMC⊥平面ABMD交线为BM，

∴AM⊥平面CMB，

∴平面AMC⊥平面BMC于MC，

由△CMB是等边三角形，取CM的中点E，连接BE，则BE⊥CM，

∴BE⊥平面AMC，连接EA，则∠BAE是直线AB与平面AMC所成的角，

∴sin∠BAE= = = ．

【解析】（1）由已知得△CMB是等边三角形，取MB的中点O，则CO⊥MB，又平面BMC⊥平面ABMD，CO= ，求出底面梯形的面积，再利用棱锥的体积公式解答；（2）利用面面垂直的性质和判定，找到折后直线AB与面AMC所成的角的平面角，然后求正弦值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．