Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC= ，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，M为PA的中点，N为BC的中点

（1）证明：直线MN∥平面PCD；
（2）求异面直线AB与MD所成角的余弦值；
（3）求点B到平面PCD的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PD的中点Q，连接QM，QC．

∵QM∥AD，AD∥CN，∴MQ∥CN，又MQ=CN= AD．

∴四边形MNCQ是平行四边形．

∴NM∥QC，又MN平面PCD，CQ平面PCD，

∴MN∥平面PCD

（2）解：∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）．

∵∠ABC= ，∴AC=CD=AD=2，

∵PA⊥平面ABCD，∴MA⊥AC，MA⊥AD．

又MA=1，AC=AD=2，MC=MD= ．

CD=2，∴cos∠MDC= = ．

∴AB与MD所成角余弦值为

（3）解：∵AB∥平面PCD，∴点A和点B到平面PCD的距离相等．

取CD的中点E，连接AE，PE，过A作AH⊥PE，垂足为H．

∠ABC= ，∴AC=CD=AD，∴AE⊥CD．

∵PA⊥平面ABCD，PA⊥CD，∴CD⊥平面PAE，∴CD⊥PA．

∵CD⊥平面PAE，∴CD⊥AH，∴AH⊥平面PCD，

∴AH即为点B到平面PCD的距离．

∵PA=2，AE= ，PA⊥AE，∴AH= = ．

【解析】（1）取PD的中点Q，连接QM，QC．利用三角形中位线定理与平行四边形的判定与性质定理可得NM∥QC，再利用线面平行的判定定理即可判断出结论．（2）由CD∥AB，可得∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角），在△MDC中利用余弦定理即可得出．（3）由AB∥平面PCD，可得点A和点B到平面PCD的距离相等．取CD的中点E，连接AE，PE，过A作AH⊥PE，垂足为H．在△PAE中，利用三角形面积计算公式即可得出．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角和直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．