【题目】已知函数f(x)= x3﹣x2+x.
(1)求函数f(x)在[﹣1,2]上的最大值和最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣4x,x∈[﹣3,2],求g(x)的单调区间.
【答案】
(1)解:f′(x)=x2﹣2x+1≥0,
故f(x)在[﹣1,2]递增,
f(x)max=f(2)= ,f(x)min=f(﹣1)=﹣
(2)解:g(x)=f(x)﹣4x= x3﹣x2﹣3x,x∈[﹣3,2],
g′(x)=x2﹣2x﹣3=(x﹣3)(x+1),
令g′(x)>0,解得:x<﹣1,令g′(x)<0,解得:x>﹣1,
故g(x)在[﹣3,﹣1]递增,在[﹣1,2]递减.
【解析】(1)求出函数的导数,根据函数的单调性求出函数的最值即可;(2)求出函数g(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.
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【题目】已知函数f(x)=2x﹣ .
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC= ,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,M为PA的中点,N为BC的中点
(1)证明:直线MN∥平面PCD;
(2)求异面直线AB与MD所成角的余弦值;
(3)求点B到平面PCD的距离.
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【题目】“a≥3 ”是“直线l:2ax﹣y+2a2=0(a>0)与双曲线C: ﹣ =1的右支无交点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y), .
(1)求f(1)的值;
(2)如果f(x)+f(2﹣x)<2,求x的取值范围.
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【题目】数列{an}满足an+1+an=4n﹣3(n∈N*)
(Ⅰ)若{an}是等差数列,求其通项公式;
(Ⅱ)若{an}满足a1=2,Sn为{an}的前n项和,求S2n+1 .
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【题目】如图,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在AB上.
(1)若D是AB中点,求证:AC1∥平面B1CD;
(2)当 = 时,求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值.
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【题目】如图,已知椭圆: ,其左右焦点为 及,过点的直线交椭圆于, 两点,线段的中点为, 的中垂线与轴和轴分别交于, 两点,且、、构成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)记的面积为, (为原点)的面积为.试问:是否存在直线,使得?说明理由.
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【题目】若函数对任意,都有,则称函数是“以为界的类斜率函数”.
(1)试判断函数是否为“以为界的类斜率函数”;
(2)若实数,且函数是“以为界的类斜率函数”,求的取值范围.
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