Question

【题目】如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．
（1）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；
（2）当 = 时，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BC1，交B1C于E，连接DE．

∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，D是AB中点

∴侧面BB1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线

∴DE∥AC1，

又∵DE平面B1CD，AC1平面B1CD

∴AC1∥平面B1CD．

（2）∵AB=5，AC=4，BC=3，即AB2=AC2+BC2

∴AC⊥BC，所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz．

则B （3，0，0），A （0，4，0），

A1 （0，4，4），B1 （3，0，4）．

设D （a，b，0）（a＞0，b＞0），

∵点D在线段AB上，且 = ，即 =

∴a= ，b=

∴ =（﹣3，0，﹣4）， =（ ， ，0）

显然 =（0，0，4）是平面BCD的一个法向量

设平面B1CD的法向量为 =（x，y，z），那么

由 =0， =0，得 ，

令x=1，得 =（1，﹣3，﹣ ）

∴cos = = =﹣

又二面角B﹣CD﹣B1是锐角，故其余项值为

【解析】（1）通过作平行线，由线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．