Question

【题目】对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点，且有如下零

点存在定理：如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点．给出下列命题：

①若函数 在 上是单调函数，则 在 上有且仅有一个零点；

②函数 有 个零点；

③函数 和 的图像的交点有且只有一个；

④设函数 对 都满足 ，且函数 恰有 个不同的零点，则这6个零点的和为18；

其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上)

Answer 1

【答案】②④

【解析】函数 在 上是单调函数，则 在 上有且仅有一个零点是错误的；，例如 在是单调函数，但其函数值恒大于0，无零点；

函数 有3个零点正确；由于 ，可解得函数 在区间 与 上是增函数，在 是减函数，故函数存在极大值 ，极小值 ，故函数有三个零点；

函数 和 图象的交点有且只有一个是错误的，因为两函数图象的交点的横坐标就是函数的零点，
其中 ，所以在直线右侧，函数有两个零点．一个在 内，一个在 内，故函数

共有3个零点，即函数 和 的图象有3个交点．
④设函数 对 都满足 ，且函数 恰有 个不同的零点，则这6个零点的和为18是正确的，由函数 对 都满足，可得函数的图象关于 对称，又函数 恰有6个不同的零点，此6个零点构成三组关于 对称的点，由中点坐标公式可得出这6个零点的和为18．
故答案为②④