Question

【题目】已知二次函数 f (x) = x 2 + x，若不等式 f (－x) + f (x)≤2 | x | 的解集为C. （1）求集合C （2）若方程 f (a x)－a x + 1 = 5（a > 0，a≠1）在 C上有解，求实数 a 的取值范围； （3）记 f (x) 在C 上的值域为 A，若 g(x) = x 3－3tx + ，x∈[0,1] 的值域为B，且 A B，求实数 t 的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）[－1,1]（2）0 < a≤或 a≥5（3）

【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组，分别求解，最后求并集（2）将方程转化为关于二次方程，根据底与1的大小分类讨论方程有解的条件，结合零点存在定理实数 a 的取值范围；（3）先利用导数研究函数g(x)单调性，确定其值域，再根据A B，利用数轴列条件，求实数 t 的取值范围.

试题解析：解：(1) f (x) + f (－x) = 2x 2

当 x≥0时，2x 2≤2x 0≤x≤1

当 x < 0时， 2x 2≤－2x －1≤x < 0

∴集合 C = [－1,1]

(2) f (a x)－a x + 1－5 = 0 (a x) 2－(a－1)a x－5 = 0，令 a x = u

则方程为 h(u) = u 2－(a－1)u－5 = 0 h(0) = －5

当 a > 1时，u∈[,a]，h(u) = 0 在 [,a] 上有解，

则 a≥5

当 0 < a < 1时，u∈[a,]，h(u) = 0 在 [a,]上有解，

则 0 < a≤

∴当 0 < a≤或 a≥5时，方程在C上有解，且有唯一解。

(3) A = [－,2]

∵，∴ .

①当 t≤0时，函数 g(x) = x 3－3tx +在 x∈[0,1]单调递增，

∴函数 g(x)的值域 B =[,]，

∵ A B ，∴，

②当t≥1时，令，得函数 g(x)的单调递减区间为： ，

∵

∴函数 g(x)在区间 [0,1]单调递减， B = []

∴

③当 0 < t < 1 时，同理可得：

函数 g(x)的单调递减区间为： ；g(x)的单调递增区间为：[,1].

g(x)在 x =达到最小值。

要使 A B，则

∵0 < t < 1，所以使得 A B的 t无解。

综上所述：t的取值范围是：