Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期为2 π，最小值为﹣2，且当x= 时，函数取得最大值4． （I）求函数 f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若当x∈[ ， ]时，方程f（x）=m+1有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）因为f（x）的最小正周期为2π， 得ω= =1，
又 ，解得
由题意， +φ=2kπ+ （k∈Z），
即φ=2kπ﹣ （k∈Z），因为|φ|＜ ，
所以，φ=﹣
所以f（x）=3sin（x﹣ ）+1
（Ⅱ）当2kπ ≤x﹣ ≤2kπ （k∈Z），
即x∈[2kπ ，2kπ ]（k∈Z）时，函数f（x）单调递增
（Ⅲ）方程f（x）=m+1可化为m=3sin（x﹣ ）
因为x∈[ ， ]，所以x﹣ ∈[﹣ ， ]，
由正弦函数图象可知，实数m的取值范围是[﹣ ，3]
【解析】（I）由最小正周期可求ω，又 ，解得 ，由题意， +φ=2kπ+ （k∈Z），|φ|＜ ，可解得φ，即可求得函数 f（x）的解析式； （Ⅱ）由2kπ ≤x﹣ ≤2kπ （k∈Z）可求得函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）方程f（x）=m+1可化为m=3sin（x﹣ ），由x∈[ ， ]，由正弦函数图象可解得实数m的取值范围．