【题目】已知函数.
(1)若曲线 在
和
处的切线互相平行,求
的值;
(2)求 的单调区间;
(3)设 ,若对任意
,均存在
,使得
,求
的取值范围.
【答案】(1); (2)①当
时,
的单调递增区间是
,单调递减区间是
.②当
时,
的单调递增区间是
和
单调递减区间是
.③当
时,
的单调递增区间是
.当
时,
的单调递增区间是
和
,单调递减区间是
;(3)
【解析】试题分析:(1)由导数的几何意义,根据曲线 )在
和
处的切线互相平行,求得
值;
(2)求导后利用导函数的符号分,
,
四种情况讨论,求得单调区间;
(3)由题意得,若要命题成立,只须当 ]时,
.利用导数分别求得
的最大值,解不等式得出
的取值范围.
试题解析 (1) .(由
,解得
.
(2)
①当 时,
在区间 上
在区间
上
故 的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).
②当 时,
>2,
在区间(0,2)和 上f′(x)>0;在区间
上
故的单调递增区间是(0,2)和(
,+∞),单调递减区间是
.
③当 时,f′(x)= img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2017/12/29/17/cd495754/SYS201712291734522978924647_DA/SYS201712291734522978924647_DA.051.png" width="57" height="48" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,
故的单调递增区间是(0,+∞).
④当 时,0<
<2,
在区间 和(2,+∞)上f′(x)>0;在区间
上f′(x)<0,
故的单调递增区间是
和(2,+∞),单调递减区间是
.
(3)由已知,在(0,2]上有
由已知,g(x)max=0,由(2)可知,
①当a≤ 时,f(x)在(0,2]上单调递增,
故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2.
所以-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1.
故ln2-1<a≤ .
②当 时,f(x)在
上单调递增,在
上单调递减,故
由
可知
所以
综上所述,
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【题目】已知函数f(x)=2x﹣ .
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< )的最小正周期为2 π,最小值为﹣2,且当x=
时,函数取得最大值4. (I)求函数 f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)若当x∈[ ,
]时,方程f(x)=m+1有解,求实数m的取值范围.
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【题目】如图所示,△ABC中,已知顶点A(3,﹣1),∠B的内角平分线方程是x﹣4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y﹣59=0.求顶点B的坐标和直线BC的方程.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC= ,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,M为PA的中点,N为BC的中点
(1)证明:直线MN∥平面PCD;
(2)求异面直线AB与MD所成角的余弦值;
(3)求点B到平面PCD的距离.
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【题目】“a≥3 ”是“直线l:2ax﹣y+2a2=0(a>0)与双曲线C:
﹣
=1的右支无交点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】如图,已知椭圆:
,其左右焦点为
及
,过点
的直线交椭圆
于
,
两点,线段
的中点为
,
的中垂线与
轴和
轴分别交于
,
两点,且
、
、
构成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)记的面积为
,
(
为原点)的面积为
.试问:是否存在直线
,使得
?说明理由.
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