【题目】已知f(x)=﹣x3+ax,其中a∈R,g(x)=﹣ x
,且f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立.求实数a的取值范围.
【答案】解:设F(x)=f(x)﹣g(x)=﹣x3+ax+ , ∵f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立,
∴F(x)<0在(0,1]上恒成立,
∴a<x2﹣ x
在(0,1]上恒成立,
令h(x)=x2﹣ x
,
要求a的取值范围,使得上式在区间(0,1]上恒成立,
只需求函数h(x)=x2﹣ x
在(0,1]上的最小值.
∵h′(x)=2x﹣
= ,
由h′(x)=0,得(2 ﹣1)(4x+2
+1)=0.
∵4x+2 +1>0,
∴2 ﹣1=0,x=
.
又∵x∈(0, ]时,h′(x)<0,
x∈( ,1]时,h′(x)>0,
∴x= 时,h(x)有最小值h(
)=﹣
,
∴a<﹣ .
故实数a的取值范围是
【解析】把f(x),g(x)代入f(x)<g(x),由f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立.得到a<x2﹣ x
在(0,1]上恒成立,构造辅助函数h(x)=x2﹣
x
,由导数求得h(x)在(0,1]上的最小值,则答案可求.
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【题目】设函数f(x)=Asin(2x+ )(x∈R)的图象过点P(
,﹣2). (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)已知f( +
)=
,﹣
<a<0,求cos(a﹣
)的值.
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【题目】如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为12,腰长为4 ,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分.
(1)令BF=x(0<x<12),试写出直线右边部分的面积y与x的函数解析式;
(2)在(1)的条件下,令y=f(x).构造函数g(x)= .
①判断函数g(x)在(4,8)上的单调性;
②判断函数g(x)在定义域内是否具有单调性,并说明理由.
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【题目】数列{an}的前n项和为Sn , a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项an;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn .
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【题目】某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为,其中k为常数,若汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L.
(1)求k的值;
(2)求该汽车每小时油耗的最小值.
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【题目】某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,按其数学成绩(均为整数)分成六组后得到如右部分频率分布直方图,观察图中的信息,
回答下列问题:
(1)补全频率分布直方图;并估计本次考试的数学平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)用分层抽样的方法在分数段为的学生成绩中抽取一个容量为6的样本,再从这6个样本中任取2人成绩,求至多有1人成绩在分数段
内的概率.
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【题目】某公司今年年初用25万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为21万元.该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用an的信息如图.
(1)求an;
(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;
(3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
:
和圆
:
.
(1)若直线过点
,且被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程;
(2)设为平面直角坐标系上的点,满足:存在过点
的无穷多对相互垂直的直线
和
,它们分别与圆
和
相交,且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等,试求所有满足条件的点
的坐标.
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【题目】已知函数.
(1)若曲线 在
和
处的切线互相平行,求
的值;
(2)求 的单调区间;
(3)设 ,若对任意
,均存在
,使得
,求
的取值范围.
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