【题目】如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为12,腰长为4 ,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分.
(1)令BF=x(0<x<12),试写出直线右边部分的面积y与x的函数解析式;
(2)在(1)的条件下,令y=f(x).构造函数g(x)= .
①判断函数g(x)在(4,8)上的单调性;
②判断函数g(x)在定义域内是否具有单调性,并说明理由.
【答案】
(1)解:过点A.D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H.
∵ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=4 cm,
∴BG=AG=DH=HC=4cm,
又∵BC=12cm,
∴AD=GH=4cm,
①当点F在BG上时,
即x∈(0,4]时,f(x)=32﹣ x2;
②当点F在GH上时,
即x∈(4,8]时,f(x)=8+4(8﹣x)=40﹣4x.
③当点F在HC上时,
即x∈(8,12)时,y=S五边形ABFED=S梯形ACD﹣S三角形CEF
f(x)= (12﹣x)2,
∴函数解析式为f(x)=
(2)解:g(x)= ,
①由二次函数的性质可知,函数g(x)在(4,8)上是减函数.
②虽然g(x)在(0,4)和(4,8)单调递减,
但是g(3.9)=24.395,g(4.1)=44.84,
∴g(3.9)<g(4.1).
因此函数g(x)在定义域内不具有单调性.
【解析】(1)可以通过分类讨论明确图形的特征,再根据图形形状求出函数的解析式;(2)可以求出函数g(x)的解析式,①由解析式即可得到判断函数的单调性,②分别求出g(3.9)=24.395,g(4.1)=44.84,比较即可.
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【题目】函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极大值点( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为, , , , 五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.
(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数.
(Ⅱ)若等级, , , , 分别对应分, 分, 分, 分, 分.
(ⅰ)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分.
(ⅱ)若该考场共有人得分大于分,其中有人分, 人分, 人分.
从这人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.
科目:数学与逻辑 | 科目:阅读与表达 |
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【题目】已知函数f(x)=2acos2x+2 bsinxcosx,且f(0)=2,f( )= +1.
(1)求f(x)的最大值及单调递减区间;
(2)若α≠β,α,β∈(0,π),且f(α)=f(β),求tan(α+β)的值.
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【题目】已知分别是椭圆的左、右焦点,离心率为,分别是椭圆的上、下顶点,.
(1)求椭圆的方程;
(2)过作直线与交于两点,求三角形面积的最大值(是坐标原点).
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【题目】若不等式(1﹣a)x2﹣4x+6>0的解集是{x|﹣3<x<1}.
(1)解不等式2x2+(2﹣a)x﹣a>0
(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R.
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【题目】【选修4—4:坐标系与参数方程】
将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(Ⅰ)写出C的参数方程;
(Ⅱ)设直线与C的交点为,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】已知函数f(x)=2x﹣ .
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
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