Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，-1），$\overrightarrow{b}$=$（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}）$，且（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$），则实数k=±$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据两向量垂直数量积为0，列出方程即可求出实数k的值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（2，-1），$\overrightarrow{b}$=$（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}）$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=2²+（-1）²=5，
${\overrightarrow{b}}^{2}$=${（-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$+${（-\frac{1}{2}）}^{2}$=1；
又（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$），
∴（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$）=0，
即${\overrightarrow{a}}^{2}$-k²${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴5-k²=0，
解得k=±$\sqrt{5}$．
故答案为：±$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了平面向量的模长公式与数量积公式的应用问题，是基础题目．