Question

13．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？（　　）

• A． 2$\frac{2}{17}$
• B． 2$\frac{3}{17}$
• C． 2$\frac{5}{17}$
• D． 2.25

Answer 1

分析 由于前两天大鼠打1+2尺，小鼠打1+$\frac{1}{2}$尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5．第三天，大鼠打4尺，小鼠打$\frac{1}{4}$尺，因此第三天相遇．设第三天，大鼠打y尺，小鼠打0.5-y尺，则$\frac{y}{4}$=$\frac{0.5-y}{\frac{1}{4}}$，解得y即可得出．

解答 解：由于前两天大鼠打1+2尺，小鼠打1+$\frac{1}{2}$尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5．
第三天，大鼠打4尺，小鼠打$\frac{1}{4}$尺，因此第三天相遇．
设第三天，大鼠打y尺，小鼠打0.5-y尺，
则$\frac{y}{4}$=$\frac{0.5-y}{\frac{1}{4}}$，解得y=$\frac{8}{17}$．
相见时大鼠打了1+2+$\frac{8}{17}$=3$\frac{8}{17}$尺长的洞，小鼠打了1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{34}$=1$\frac{9}{17}$尺长的洞，
x=2+$\frac{2}{17}$=2$\frac{2}{17}$天，
故选：A．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．