Question

1．设f（x）=1g$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+{4}^{x}•a}{4}$，其中a是实数，若f（x）当x∈（-∞，1]时有意义，求a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得，当x∈（-∞，1]时，$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+{4}^{x}•a}{4}$＞0，即当x∈（-∞，1]时，a•4^x+3^x+2^x+1＞0，分离参数a，利用函数的单调性求出g（x）=-[$（\frac{3}{4}）^{x}+（\frac{1}{2}）^{x}+（\frac{1}{4}）^{x}$]在x∈（-∞，1]上的最大值得答案．

解答 解：由题意可知，当x∈（-∞，1]时，$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+{4}^{x}•a}{4}$＞0，
即当x∈（-∞，1]时，a•4^x+3^x+2^x+1＞0，
∴a＞-[$（\frac{3}{4}）^{x}+（\frac{1}{2}）^{x}+（\frac{1}{4}）^{x}$]在x∈（-∞，1]上恒成立．
∵函数g（x）=-[$（\frac{3}{4}）^{x}+（\frac{1}{2}）^{x}+（\frac{1}{4}）^{x}$]在x∈（-∞，1]上为增函数，
∴$g（x）_{max}=g（1）=-\frac{3}{2}$．
∴$a＞-\frac{3}{2}$．
故a的取值范围为（$-\frac{3}{2}，+∞$）．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．