Question

11．已知函数f（x）=lnx+a（x²-x）
（I）若a=-1，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），AB的中点为C（x₀，0），求证：f′（x₀）≠0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，根据函数的单调性确定a的范围即可；
（Ⅲ）根据ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}+x}_{2}}$=0，得到ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{2\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$=0，设t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（0＜t＜1），则lnt-$\frac{2t-2}{t+1}$=0，令u（t）=lnt-$\frac{2t-2}{t+1}$（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（I）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-a=$\frac{2{ax}^{2}-ax+1}{x}$，
当a=-1时，f′（x）=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，由f′（x）=0，∴x=-$\frac{1}{2}$或x=1，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴x=1时，f（x）_极大值=0，无极小值．
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}-ax+1}{x}$，
∵f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0在（0，+∞）内有解，
即关于x的不等式2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）内有解，
若a=0，则f′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不存在单调递减区间；
若a＞0，则函数y=2ax²-ax+1的图象是开口向上的抛物线，且恒过点（0，1），
要使关于x的不等式2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）内有解，
则应有$\left\{\begin{array}{l}{△{=a}^{2}-8a＞0}\\{-\frac{-a}{4a}＞0}\end{array}\right.$，
∴a＜0或a＞8，由于a＞0，∴a＞8；
若a＜0，
则函数y=2ax²-ax+1的图象是开口向下的抛物线，且恒过点（0，1），
关于x的不等式2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）内一定有解．
综上，a＜0或a＞8；
（Ⅲ）依题意：x₁+x₂=2x₀，假设结论不成立，即f′（x₀）=0，
则有$\left\{\begin{array}{l}{f{（x}_{1}）=l{nx}_{1}+a{{（x}_{1}}^{2}{-x}_{1}）=0①}\\{f{（x}_{2}）=l{nx}_{2}+a{{（x}_{2}}^{2}{-x}_{2}）=0②}\\{f′{（x}_{0}）=\frac{1}{{x}_{0}}+2{ax}_{0}-a=0③}\end{array}\right.$，
①-②，得ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+a（${{x}_{1}}^{2}$-${{x}_{2}}^{2}$）-a（x₁-x₂）=0，
∴ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+a（x₁+x₂）（x₁-x₂）-a（x₁-x₂）=0，
由③得，$\frac{2}{{{x}_{1}+x}_{2}}$+a（x₁+x₂）-a=0，
∴ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}+x}_{2}}$=0，即ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{2\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$=0，
设t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（0＜t＜1），则lnt-$\frac{2t-2}{t+1}$=0，---④
令u（t）=lnt-$\frac{2t-2}{t+1}$（0＜t＜1），
∴u′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，∴u（t）在（0，1）上为增函数．
∴u（t）＜u（1）=0，即lnt-$\frac{2t-2}{t+1}$＜0，与④式矛盾
∴假设不成立，∴f′（x₀）≠0．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．