Question

20．已知关于x的不等式（4kx-k²-12k-9）（2x-11）＞0，其中k∈R，对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B是有限集，则使得集合B中元素个数最少时的实数k的取值范围是{2，3，4，5}．

Answer 1

分析 对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法求出已知不等式的解集确定出A，根据B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，即可得出．

解答 解：分情况考虑：①当k＜0，A={x|$\frac{k}{4}$+$\frac{9}{4k}$+3＜x＜$\frac{11}{2}$}；
②当k=0，A={x|x＜$\frac{11}{2}$}；
③当0＜k＜1或k＞9，A={x|x＜$\frac{11}{2}$，或x＞$\frac{k}{4}$+$\frac{9}{4k}$+3}；
④当1≤k≤9，A={x|x＜$\frac{k}{4}$+$\frac{9}{4k}$+3，或x＞$\frac{11}{2}$}；
∵B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，
只有k＜0，B={2，3，4，5}．
故答案为：{2，3，4，5}

点评 此题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，表示出解集A是解本题的关键．