Question

15．已知F是双曲线C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点．求：
（1）|PF|+|PA|的最小值；
（2）|PF|-|PA|的有没有最大值？若有，求此最大值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设双曲线的右焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，以及焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线，可得最小值为|AF'|；
（2）延长FA交双曲线右支于P，由|PF|-|PA|≤|AF|，结合渐近线的斜率和直线AF的斜率的关系，计算即可得到所求最大值．

解答 解：（1）设双曲线的右焦点为F'，
双曲线C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=4，
可得F（-4，0），F'（4，0），
由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a=4，
可得|PF|=4+|PF'|，
则|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥|AF'|，当A，P，F'共线时，取得等号．
|AF'|=$\sqrt{（1-4）^{2}+（4-0）^{2}}$=5．
可得|PF|+|PA|的最小值为5；
（2）|PF|-|PA|≤|AF|，当A，P，F三点共线时，取得等号．
延长FA交双曲线右支于P，由双曲线的渐近线的斜率为±$\sqrt{3}$，
直线AF的斜率为$\frac{4-0}{1+4}$=$\frac{4}{5}$＜$\sqrt{3}$，则P点存在．
|AF|=$\sqrt{（1+4）^{2}+（4-0）^{2}}$=$\sqrt{41}$．
则|PF|-|PA|的最大值为$\sqrt{41}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是定义法的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想方法，属于中档题．