Question

15．（Ⅰ）若关于x的不等式|x+1|-|x-2|＞|a-3|的解集是空集，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）对任意正实数x，y，不等式$\sqrt{2x}$+$\sqrt{3y}$＜k$\sqrt{8x+6y}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+1|-|x-2|＞|a-3|的解集是空集，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）利用柯西不等式，结合对任意正实数x，y，不等式$\sqrt{2x}$+$\sqrt{3y}$＜k$\sqrt{8x+6y}$恒成立，求实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵||x+1|-|x-2||≤|（x+1）-（x-2）|=3，
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3，
∵关于x的不等式|x+1|-|x-2|＞|a-3|的解集是空集
∴|a-3|≥3，
∴a≥6或a≤0；
（Ⅱ）由柯西不等式可得（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$）（8x+6y）≥（$\sqrt{2x}+\sqrt{3y}$）²，
∴$\frac{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}{\sqrt{8x+6y}}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵对任意正实数x，y，不等式$\sqrt{2x}$+$\sqrt{3y}$＜k$\sqrt{8x+6y}$恒成立，
∴k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即实数k的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式的运用，考查恒成立问题，正确转化是关键．