Question

6．已知平面区域Ω：$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-18≤0}\\{x≥2}\\{y≥0}\end{array}\right.$夹在两条斜率为-$\frac{3}{4}$的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m，若点P（x，y）∈Ω，且mx-y的最小值为p，$\frac{y}{x+m}$的最大值为q，则pq等于$\frac{27}{22}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，结合题意求出m，利用线性规划知识求得p，再由两点求斜率求出q，则答案可求．

解答 解：由约束条件作出可行域如图，
∵平面区域Ω夹在两条斜率为-$\frac{3}{4}$的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m，
则m=$\frac{|3×2-18|}{5}$=$\frac{12}{5}$．
令z=mx-y=$\frac{12}{5}$x-y，则y=$\frac{12}{5}$x-z，
由图可知，当直线y=$\frac{12}{5}$x-z过B（2，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为p=$\frac{9}{5}$，
$\frac{y}{x+m}$=$\frac{y}{x+\frac{12}{5}}$的几何意义为可行域内的动点与定点D（-$\frac{12}{5}$，0）连线的斜率，
其最大值q=$\frac{3}{2+\frac{12}{5}}=\frac{15}{22}$．
∴pq=$\frac{9}{5}×\frac{15}{22}=\frac{27}{22}$．
故答案为：$\frac{27}{22}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．