Question

14．若α∈（0，$\frac{π}{2}$），且cos2α=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$sin（α+$\frac{π}{4}$），则tanα=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据三角函数的恒等变换，利用同角的三角函数关系，即可得出tanα的值．

解答 解：$α∈（0，\frac{π}{2}）$，且$cos2α=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}sin（α+\frac{π}{4}）$，
∴cos²α-sin²α=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∴（cosα+cosα）（cosα-sinα）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα），
∴cosα-sinα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
两边平方，得sin²α-2sinαcosα+cos²α=$\frac{2}{5}$，
∴sinαcosα=$\frac{3}{10}$，
∴$\frac{sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{tanα}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{3}{10}$，
整理得3tan²α-10tanα+3=0，
解得tanα=$\frac{1}{3}$或tanα=3，
cosα＞sinα，
∴tanα＜1，
∴tanα=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换以及同角的三角函数关系，是基础题．