Question

9．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（$θ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，θ为参数）若以坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$θ=\frac{π}{4}$（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）将曲线C₂向下平移m（m＞0）个单位后得到的曲线恰与曲线C₁有两个公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）将曲线C₂向下平移m（m＞0）个单位后得到的曲线对应方程为y=x-m，利用特殊位置求出m的值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（$θ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，θ为参数），消去参数得到曲线C₁的普通方程：（x-2）²+y²=4（2≤x≤4，-2≤y≤2），…（3分）
曲线C₂的极坐标方程为$θ=\frac{π}{4}$（ρ∈R），直角坐标方程为C₂：y=x．…（5分）
（Ⅱ）将曲线C₂向下平移m（m＞0）个单位后得到的曲线对应方程为y=x-m，
则当直线与圆相切时：$\frac{{|{2-m}|}}{{\sqrt{2}}}=2$，即$m=2±2\sqrt{2}$，…（8分）
又直线恰过点（2，-2）时，m=4，可得：$4≤m＜2+2\sqrt{2}$…（10分）

点评 本题考查三种方程的转化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．