Question

20．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明
（1）ab+bc+ac≤$\frac{1}{3}$
（2）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$≥9．

Answer 1

分析 （1）将不等式a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc相加得出a²+b²+c²≥ab+ac+bc，再将a+b+c=1两边平方即可得出结论；
（2）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$），在利用基本不等式即可得出结论．

解答 证明：（1）∵a，b，c均为正数，
∴a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，
以上三式相加得：2（a²+b²+c²）≥2（ab+ac+bc），
∴a²+b²+c²≥ab+ac+bc；
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+ac+bc）≥3（ab+bc+ac），
∵a+b+c=1，
∴1≥3（ab+bc+ac）
∴ab+bc+ca≤$\frac{1}{3}$（当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时取“=”）．
（2）∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，
∴a+b+c≥3$\root{3}{abc}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$≥3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$）≥3$\root{3}{abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$=9．
当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时取“=”．

点评 本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题．