Question

10．在平面直角坐标系xoy中，点P到两点（0，-$\sqrt{2}$）、（0，$\sqrt{2}$）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过A（1，$\sqrt{2}$）作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于A的另外两点B，D，证明：直线BD的斜率为定值，并求出这个定值；
（3）在（2）的条件下，△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意，设F₁（0，-$\sqrt{2}$），F₂（0，$\sqrt{2}$）由|PF₁|+|PF₂|=4$＞2\sqrt{2}$，则曲线C是以F₁，F₂为焦点的椭圆，设其方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则2a=4，2c=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²．联立解出即可得出．
（2）设直线AB的斜率为k，则直线AD的斜率为-k，设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则直线AB的方程为y-$\sqrt{2}$=k（x-1），
与椭圆方程联立化简整理可得：（2+k²）x²+2k$（\sqrt{2}-k）$x+k²-2$\sqrt{2}$k-2=0，利用根与系数的关系代入k_BD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$即可得出．
（3）由（2）可设BD的方程为y=$\sqrt{2}$x+m，与椭圆方程联立化简整理得：4x²+2$\sqrt{2}$mx+m²-4=0，|BD|=$\sqrt{3}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．设A到直线BD的距离为d，则d=$\frac{|m|}{\sqrt{3}}$，S_△ABD=$\frac{1}{2}$|BD|•d=$\frac{\sqrt{2}}{4}×\sqrt{{m}^{2}（8-{m}^{2}）}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意，设F₁（0，-$\sqrt{2}$），F₂（0，$\sqrt{2}$）由|PF₁|+|PF₂|=4$＞2\sqrt{2}$，则曲线C是以F₁，F₂为焦点的椭圆，
设其方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则2a=4，2c=2$\sqrt{2}$．
∴a=2，c=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=2．
∴椭圆C的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
（2）设直线AB的斜率为k，则直线AD的斜率为-k，
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则直线AB的方程为y-$\sqrt{2}$=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{2}=k（x-1）}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化简整理可得：（2+k²）x²+2k$（\sqrt{2}-k）$x+k²-2$\sqrt{2}$k-2=0，
则1和x₁是上述方程的两个根，则x₁=$\frac{{k}^{2}-2\sqrt{2}k-2}{2+{k}^{2}}$，
y₁=kx₁+$\sqrt{2}$-k=$\frac{-\sqrt{2}{k}^{2}-4k+2\sqrt{2}}{2+{k}^{2}}$．
同理可得：x₂=$\frac{{k}^{2}+2\sqrt{2}k-2}{2+{k}^{2}}$，y₂=$\frac{-\sqrt{2}{k}^{2}+4k+2\sqrt{2}}{2+{k}^{2}}$．
∴k_BD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{8k}{4\sqrt{2}k}$=$\sqrt{2}$．
（3）由（2）可设BD的方程为y=$\sqrt{2}$x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化简整理得：4x²+2$\sqrt{2}$mx+m²-4=0，
△=8m²-16（m²-4）=-8m²+64＞0，解得$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$．
∴x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{4}$，|BD|=$\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{3}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{3}\sqrt{\frac{{m}^{2}}{2}-（{m}^{2}-4）}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}\sqrt{8-{m}^{2}}$．
设A到直线BD的距离为d，则d=$\frac{|m|}{\sqrt{3}}$，
S_△ABD=$\frac{1}{2}$|BD|•d=$\frac{\sqrt{2}}{4}×\sqrt{{m}^{2}（8-{m}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$×$\frac{{m}^{2}+8-{m}^{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当8-m²=m²，即m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．