Question

2．在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，$AE=\frac{3}{2}，cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}，∠ADB=\frac{2π}{3}$．
（1）求sin∠BAD；
（2）求AD及DC的长．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由∠BAD=∠B+∠ADB，利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式即可计算得解．
（2）由正弦定理可求AD，得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理即可解得DC的值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）在△ABD中，因为$cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}，B∈（{0，π}）$，
所以$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}$，即sinB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，…3分
所以sin∠BAD=sin（∠B+∠ADB），
因为：∠ADB=$\frac{2π}{3}$，
所以：sin∠BAD=$\frac{\sqrt{21}}{7}$×$（-\frac{1}{2}）+\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$…7分
（2）由正弦定理$\frac{AD}{sinB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，得$AD=\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{{1×\frac{{\sqrt{21}}}{7}}}{{\frac{{\sqrt{21}}}{14}}}=2$…（9分）
依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得：AC²=AD²+DC²-2AD•CDcos∠ADC，
即$9=4+D{C^2}-2×2×CDcos\frac{π}{3}$，
所以DC²-2DC-5=0，解得：$DC=1+\sqrt{6}$（负值舍去）．…（14分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．