Question

17．如图，D是△ABC内一点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足∠D=2∠B，cos∠D=-$\frac{1}{3}$，AD=2，△ACD的面积是4$\sqrt{2}$．
（1）求线段AC的长；
（2）若BC=4$\sqrt{3}$，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）由题意求出sin∠D，根据AD=2，△ACD的面积是4$\sqrt{2}$即可求出CD的长度．利用余弦定理可得AC
（2）根据∠D=2∠B，利用二倍角公式求出sinB的值，由正弦定理可得AB．

解答 解：（1）由cos∠D=-$\frac{1}{3}$，可得sin∠D=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
，△ACD的面积是4$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$AD×CD×sin∠D
解得：CD=6
在△ACD中由余弦定理：AC²=AD²+CD²-2×AD×CD×cos∠D=48
∴AC=4$\sqrt{3}$
（2）由已知：∠D=2∠B，即cos∠D=cos2∠B=1-2sin²B=$-\frac{1}{3}$．
∴sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
在△ABC中，BC=4$\sqrt{3}$，AC=4$\sqrt{3}$
即AC=BC，
由正弦定理：$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AB}{sin（π-2B）}=\frac{AB}{sin∠D}=\frac{AC}{sin∠B}$
即$\frac{AB}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$
∴AB=8（也可以用等腰三角形求线AB的一半）．

点评 本题主要考查了正余弦定理以及二倍角公式的灵活运用和计算能力．属于中档题．