Question

7．下列命题中：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定过原点；
③若奇函数f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$，则实数a=1；
④图象过原点的奇函数必是单调函数；
⑤函数y=2^x-x²的零点个数为2；
⑥互为反函数的图象关于直线y=x对称．
上述命题中所有正确的命题序号是③⑥．

Answer 1

分析 ①，偶函数的图象不一定与y轴相交，比如y=$\frac{1}{{x}^{2}}$；
②，奇函数的图象不一定过原点，比如y=$\frac{1}{x}$；
③，∵奇函数f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$的定义域为R，由f（0）=0，得实数a=1；
④，图象过原点的奇函数不一定是单调函数，比如y=sinx；
⑤，函数y=2^x-x²的零点个数为3，x＜0时有一个，还有x=2，x=4；
⑥，根据反函数的定义可得判定．

解答 解：对于①，偶函数的图象不一定与y轴相交，比如y=$\frac{1}{{x}^{2}}$，故错；
对于②，奇函数的图象不一定过原点，比如y=$\frac{1}{x}$，故错；
对于③，∵奇函数f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$的定义域为R，由f（0）=0，得实数a=1，故正确；
对于④，图象过原点的奇函数不一定是单调函数，比如y=sinx，故错；
对于⑤，函数y=2^x-x²的零点个数为3，x＜0时有一个，还有x=2，x=4，故错；
对于⑥，根据反函数的定义可得，互为反函数的图象关于直线y=x对称，故正确．
故答案为：③⑥

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到函数的性质，属于中档题．