Question

12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-2）=-f（x），且在区间[0，1]上是增函数，则f（-25），f（17），f（32）的大小关系为f（-25）＜f（32）＜f（17）（从小到大排列）

Answer 1

分析 先由“f（x）是奇函数且f（x-2）=-f（x）”转化得到f（x-4）=f（x），即函数f（x）为周期4的周期函数，然后按照条件，将问题转化到区间[0，1]上应用函数的单调性进行比较．

解答 解：∵f（x）是奇函数且f（x-2）=-f（x），
∴f（x-4）=-f（x-2）=f（x），f（0）=0
∴函数f（x）为周期4的周期函数，
∴f（-25）=f（-25+7×4）=f（3）=-f（1），
f（17）=f（16+1）=f（1），
f（32）=f（0）=0，
又∵函数在区间[0，1]上是增函数，
0=f（0）＜f（1）
∴-f（1）＜f（0）＜f（1）
∴f（-25）＜f（32）＜f（17），
故答案为：f（-25）＜f（32）＜f（17）．

点评 本题主要考查函数奇偶性周期性和单调性的综合运用，综合性较强，条件间结合与转化较大，属中档题．