Question

3．已知直线l交椭圆$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1于M，N两点，且线段MN的中点为（1，1），则直线l方程为5x+4y-9=0．

Answer 1

分析 利用点差法及中点坐标公式，求得直线MN的斜率，根据直线的点斜式公式，即可求得l的方程．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（1，1）是线段MN的中点，
则x₁+x₂=8，y₁+y₂=4；
依题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{20}+\frac{{y}_{1}^{2}}{16}=1①}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{20}+\frac{{y}_{2}^{2}}{16}=1②}\end{array}\right.$，
①-②得：$\frac{1}{20}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）=-$\frac{1}{16}$（y₁+y₂）（y₁-y₂），
由$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，
由题意知，直线l的斜率存在，
∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{4}{5}$，
∴直线l的方程为：y-1=-$\frac{4}{5}$（x-1），
整理得：5x+4y-9=0．
故直线l的方程为5x+4y-9=0，
故答案为：5x+4y-9=0．

点评 本题考查直线的点斜式方程，考查点差法的应用，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．