Question

14．如图，在△ABC中，∠B=$\frac{π}{6}$，AB=8$\sqrt{3}$，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=$\frac{1}{7}$．
（1）求sin∠BAD；     
（2）求BD，AC的长．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADC，利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAD的值．
（2）在△ABD中，由正弦定理得BD，在△ABC中，由余弦定理即可解得AC的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ADC中，因为cos∠ADC=$\frac{1}{7}$，
所以sin∠ADC=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．（2分）
所以sin∠BAD=sin（∠ADC-∠B）
=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B（4分）
=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$-$\frac{1}{7}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{11}{14}$．（6分）
（2）在△ABD中，由正弦定理得BD=$\frac{AB•sin∠BAD}{sin∠ADB}$=$\frac{{8\sqrt{3}×\frac{11}{14}}}{{\frac{{4\sqrt{3}}}{7}}}=11$．（9分）
在△ABC中，由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos B=${（{8\sqrt{3}}）^2}+{13^2}-2×8\sqrt{3}×13×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=49$．
所以AC=7．（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．