Question

4．在直角坐标系xOy中，直线l过点$P（2，\sqrt{3}）$，倾斜角为$\frac{3π}{4}$，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为$ρ=2\sqrt{3}sinθ$．
（1）求l的参数方程和圆C的直角坐标方程；
（2）设直线l与圆C交于点A，B，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，即可求l的参数方程和圆C的直角坐标方程；
（2）利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．

解答 解：（1）根据题意，直线l过点$P（2，\sqrt{3}）$，倾斜角为$\frac{3π}{4}$，
得l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.\;\;（t为参数）$，…（3分）
圆C的方程为$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，圆C的直角坐标方程为：${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}y=0$．…（5分）
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得：${（{2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}+{（{\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}-2\sqrt{3}（{\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）=0$，
即：${t^2}-2\sqrt{2}t+1=0$．…（7分）
设t₁，t₂为此方程的两根，
则${t_1}+{t_2}=2\sqrt{2}$，t₁t₂=1，∴t₁，t₂＞0，
∴$|PA|+|PB|={t_1}+{t_2}=2\sqrt{2}$．…（10分）

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数几何意义的运用，属于中档题．