Question

13．三角形ABC中，AB=2且AC=2BC，则三角形ABC面积的最大值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设A（-1，0），B（1，0），C（x，y），由AC=2BC，得C点轨迹为以（$\frac{5}{3}$，0）为圆心，以$\frac{4}{3}$为半径的圆，可求三角形高为$\frac{4}{3}$时，S_△ABC最大，即可得解．

解答 解：设A（-1，0），B（1，0），C（x，y），
则由AC=2BC，得，$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
化简得：（x-$\frac{5}{3}$）²+y²=$\frac{16}{9}$，
所以C点轨迹为以（$\frac{5}{3}$，0）为圆心，以$\frac{4}{3}$为半径的圆，
所以S_△ABC最大值为：$\frac{1}{2}×2×\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$，
所以三角形ABC面积的最大值为$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了圆的轨迹方程，三角形面积公式的应用，可得了转化思想和数形结合思想，属于中档题．