已知函数f(x)的定义域为R．?a.b∈R.若此函数同时满足:+f当a+b＞0时.有f＞0.则称函数f(x)为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是( )①y=x+sinx,②y=3x-x,③y=$\left\{\begin{array}{l}{0.x=0}\\{-\frac{1}{x}.x≠0}\end{array}\right.$．A．①②B．①③C．②③D．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．已知函数f（x）的定义域为R．?a，b∈R，若此函数同时满足：
（i）当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；（ii）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是（　　）
①y=x+sinx；②y=3^x-（$\frac{1}{3}$）^x；③y=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{-\frac{1}{x}，x≠0}\end{array}\right.$．

A．

①②

B．

①③

C．

②③

D．

①②③

分析容易判断函数①②为奇函数，且在定义域R上为增函数，可设y=f（x），容易得出这两函数满足Ω函数的两条，而函数③是奇函数，不是增函数，这样显然不能满足Ω函数的第②条，这样即可找出为Ω函数的函数序号．

解答解：容易判断①②③都是奇函数；
y′=1-cosx≥0，y′=ln3（3^x+3^-x）＞0；
∴①②都在定义域R上单调递增；
③在定义域R上没有单调性；
设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=-b，f（a）=f（-b）=-f（b）；
∴f（a）+f（b）=0；
a+b＞0时，a＞-b；
∴f（a）＞f（-b）=-f（b）；
∴f（a）+f（b）＞0；
∴①②是Ω函数；
对于函数③，a+b＞0时，得到a＞-b；
∵f（x）不是增函数；
∴得不到f（a）＞f（-b），即得不出f（a）+f（b）＞0．
故选：A

点评考查奇函数的定义，会判断一个函数是否为奇函数，根据导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性的运用，反比例函数的单调性，函数单调性定义．

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A．

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