Question

6．如图所示，在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，E，F，G，H分别是AB，AC，A₁B₁，A₁C₁的中点，
求证：（1）GH∥面ABC
（2）平面EFA₁∥平面BCHG．

Answer 1

分析 （1）推导出GH∥B₁C₁∥BC，由此能证明GH∥面ABC．
（2）推导出EF∥BC，A₁E∥BG，由此能证明平面EFA₁∥平面BCHG．

解答 证明：（1）∵在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，
E，F，G，H分别是AB，AC，A₁B₁，A₁C₁的中点，
∴GH∥B₁C₁∥BC，
∵GH?平面ABC，BC?平面ABC，
∴GH∥面ABC．
（2）∵在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，
E，F，G，H分别是AB，AC，A₁B₁，A₁C₁的中点，
∴EF∥BC，A₁G$\underset{∥}{=}$BE，
∴四边形BGA₁E是平行四边形，∴A₁E∥BG，
∵A₁E∩EF=E，BG∩BC=B，
A₁E，EF?平面EFA₁，BG，BC?平面BCHG，
∴平面EFA₁∥平面BCHG．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．