Question

12．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+1，（{x≥0}）\\（a+3）{e^{ax}}，（{x＜0}）\end{array}\right.$为R上的单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-1，0）
• B． （0，+∞）
• C． [-2，0）
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 分类讨论：当函数在R上单调递增时，根据表达式中的二次函数部分可得a为正数，再根据表达式中的指数函数部分，可得a+3是正数，最后结合在x=0时指数表达式对应的值小于或等于二次函数对应的值，可得到实数a的取值范围；当函数在R上单调递减时，可用类似于单调增的方法，讨论得a的取值范围．最后综合可得实数a的取值范围．

解答 解：①若f（x）在R上单调递增，
则有 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a+3＞0}\\{a+3≤1}\end{array}\right.$，解得a∈∅；
②若f（x）在R上单调递减，
则有$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a+3＞0}\\{a+3≥1}\end{array}\right.$，解得-2≤a＜0，
综上所述，得实数a的取值范围是[-2，0），
故选：C．

点评 本题以二次函数和指数类型的函数为载体，考查了函数的单调性、基本初等函数等知识点，属于中档题．