Question

2．在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AD=DE=2BF=2，ED⊥平面ABCD，FB∥ED．
（1）若$\overrightarrow{FG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FE}）$，求证：FG∥平面ABCD；
（2）求二面角B-EF-C的大小．

Answer 1

分析 （1）过G作GH⊥AD于点H，连接HB，证明GF∥HB，即可证明FG∥平面ABCD；
（2）建立如图所示的坐标系，求出平面EFG与平面BDEF的法向量，即可求二面角B-EF-C的大小．

解答 （1）证明：∵$\overrightarrow{FG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FE}）$，∴G为AE中点，
过G作GH⊥AD于点H，连接HB，则GH=$\frac{1}{2}DE$=1，GH∥DE，
∵FB=1，FB∥DE，∴FGHB是平行四边形，
∴GF∥HB，
∵GF?平面ABCD，HB?平面ABCD，
∴FG∥平面ABCD；
（2）解：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），F（2，2，1），
∴$\overrightarrow{CE}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{CF}$=（2，0，1），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面EFG的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{-2y+2=0}\\{2x+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-2），
∵$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{EF}$=（2，2，-1），$\overrightarrow{BF}$=（0，0，1），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$=0，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BF}$=0，
∴AC⊥EF，AC⊥BF，
∵EF∩BF=F，
∴$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0）是平面BDEF的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-6}{2\sqrt{2}•3}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵二面角B-EF-C的大小为锐角，
∴二面角B-EF-C的大小为45°．

点评 本题考查线面平行的判定，考查二面角大小的计算，考查向量方法的运用，属于中档题．