Question

7．关于x的方程x²-x•cosA•cosB-cos²$\frac{C}{2}$=0有一个根为1，则△ABC一定是（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 锐角三角形
• D． 钝角三角形

Answer 1

分析 由题意得1-cosAcosB-cos²$\frac{C}{2}$=0，化简可得cos（A-B）=0，根据-π＜A-B＜π，求得A-B=0，从而得到结论．

解答 解：∵关于x的方程x²-xcosAcosB-cos²$\frac{C}{2}$=0有一个根为1，
∴1-cosAcosB-cos²$\frac{C}{2}$=0，即sin²$\frac{C}{2}$=cosAcosB，
∴$\frac{1-cosC}{2}$=cosAcosB，
∴1=2cosAcosB-cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=cos（A-B），
∵-π＜A-B＜π，
∴A-B=0，即：A=B，故△ABC一定是等腰三角形，
故选：A．

点评 本题考查两角和差的余弦公式的应用，求出cos（A-B）=0，及-π＜A-B＜π，是解题的关键，属于基础题．