Question

19．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），直线l：x-y-6=0．
（1）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值；
（2）过点M（-1，0）且与直线l平行的直线l₁交C于点A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （1）设点P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，则点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-sinα-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α-\frac{π}{3}）+6|}{\sqrt{2}}$，利用三角函数的单调性与值域即可得出．
（2）曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），化为：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．设直线l₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），代入椭圆标准方程可得：${t}^{2}-\sqrt{2}$t-2=0．利用|MA|•|MB|=|t₁t₂|即可的．

解答 解：（1）设点P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，
则点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-sinα-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α-\frac{π}{3}）+6|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{8}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$，
当且仅当$sin（α-\frac{π}{3}）$=1时取等号，可得α=$\frac{5π}{6}$，可得P$（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$．
（2）曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），化为：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
设直线l₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），
代入椭圆标准方程可得：${t}^{2}-\sqrt{2}$t-2=0．
∴t₁t₂=-2．
∴|MA|•|MB|=|t₁t₂|=2．

点评 本题考查了椭圆的参数方程及其应用、点到直线的距离公式、一元二次方程的根与系数的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．