Question

8．如图，正三棱锥P-ABC，已知AB=2，PA=3
（1）求此三棱锥体积
（2）若M是侧面PBC上一点，试在面PBC上过点M画一条与棱PA垂直的线段，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，由正三棱锥的性质可得O为底面三角形的中心，求解三角形可得AD，进一步得到AO，求得PO，再由棱锥体积公式求得正三棱锥P-ABC的体积；
（2）由（1）结合线面垂直的判定可得BC⊥平面PAO，得到BC⊥PA，过M作线段EF平行于BC，则EF为所求．

解答 解：（1）如图，

过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，
∵P-ABC为正三棱锥，∴O为底面正三角形的中心，
连接AO并延长交BC于D，则AD⊥BC，且AD=$\sqrt{3}$，
∴$AO=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则$PO=\sqrt{{3}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\sqrt{\frac{23}{3}}=\frac{\sqrt{69}}{3}$．
∴${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{69}}{3}=\frac{\sqrt{23}}{3}$；
（2）过M作线段EF平行于BC，则EF为所求．
理由：∵P-ABC为正三棱锥，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，
∴O为底面正三角形的中心，则PO⊥BC，AO⊥BC，
∴BC⊥平面PAO，则BC⊥PA，
∵EF∥BC，∴EF⊥PA．

点评 本题考查线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，考查棱锥体积的求法，是中档题．