Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{λ•{2^x}+（λ-2）}}{{{2^x}+1}}$．
（1）是否存在实数λ，使f（x）为奇函数．
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，或f（0）=0，即可得出结论；
（2）根据单调性的证明步骤，即可证明结论．

解答 解：由题：f（x）=$\frac{{λ•{2^x}+（λ-2）}}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{λ（{2^x}+1）-2}}{{{2^x}+1}}$=λ$-\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
（1）法一：∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴λ$-\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}$=-λ+$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
∴2λ=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+$\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}$=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+$\frac{{2•{2^x}}}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{2（{2^x}+1）}}{{{2^x}+1}}$=2．
∴λ=1．
经检验 当λ=1时，f（x）为奇函数．
∴存在λ=1，使f（x）为奇函数．
法二：若存在实数λ，使f（x）为奇函数，则f（0）=0，即λ$-\frac{2}{{{2^0}+1}}$=0
∴λ=1．
当λ=1时，f（x）=1$-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，定义域R关于原点对称
且f（x）+f（-x）=（1$-\frac{2}{{{2^x}+1}}$）+（1$-\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}$）
=2$-\frac{2}{{{2^x}+1}}$$-\frac{{2•{2^x}}}{{{2^x}+1}}$=$2-\frac{{2（{2^x}+1）}}{{{2^x}+1}}=0$
∴存在λ=1，使f（x）为奇函数．
（2）f（x）是增函数，证明如下：
设x₁，x₂∈且 x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（λ$-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}$）-（λ$-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}$）=$\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$
由x₁＜x₂可知：0＜${2^{x_1}}$＜${2^{x_2}}$，∴${2^{x_1}}$-${2^{x_2}}$＜0，又${2^{x_1}}$+1＞0，${2^{x_2}}$+1＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴λ∈R，f（x）是定义域上增函数．

点评 本题考查奇函数、单调性的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．