Question

11．设函数$f（x）=ln（{\sqrt{{x^2}+1}-x}）$，若a，b满足不等式f（a²-2a）+f（2b-b²）≤0，则当1≤a≤4时，2a-b的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 10
• C． 5
• D． 8

Answer 1

分析 判定函数f（x）是定义域R上的奇函数，且为单调减函数，
把不等式f（a²-2a）+f（2b-b²）≤0化为a²-2a≥-2b+b²，
即（a+b-2）（a-b）≥0，再由1≤a≤4得出不等式组，
画出不等式组表示的平面区域即可行域，
利用目标函数Z=2a-b，求出Z的最大值即可．

解答 解：函数$f（x）=ln（{\sqrt{{x^2}+1}-x}）$，定义域为R，且对于任意的x∈R都有
f（-x）+f（x）=ln（$\sqrt{{（-x）}^{2}+1}$+x）+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=ln（x²+1-x²）=0，
∴函数y=f（x）定义域R上的为奇函数；
由f（a²-2a）+f（2b-b²）≤0可得f（a²-2a）≤-f（2b-b²）
由函数为奇函数可得式f（a²-2a）≤f（-2b+b²）；
又∵f′（x）=$\frac{\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}-1}{\sqrt{{x}^{2}+1}-x}$＜0恒成立，
∴函数f（x）为R上的减函数；
∴a²-2a≥-2b+b²，即a²-b²-2（a-b）≥0，
整理可得，（a+b-2）（a-b）≥0，
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{（a+b-2）（a-b）≥0}\\{1≤a≤4}\end{array}\right.$
所表示的平面区域即可行域如图所示的△ABC；
令Z=2a-b，则Z表示2a-b-Z=0在y轴上的截距的相反数，
由图可知，当直线经过点A（1，1）时Z最小，最小值为Z=2×1-1=1，
当直线经过点C（4，-2）时Z最大，最大值为2×4-（-2）=10．
故选：B．

点评 本题主要考查了复合函数的单调性与奇偶性的综合应用问题，也考查了不等式表示平面区域的确定，以及用线性规划求目标函数的最值问题．