Question

6．已知函数f（x）的导数f'（x），f（x）不是常数函数，且（x+1）f（x）+xf'（x）≥0，对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（　　）

• A． ef（1）＜f（2）
• B． f（1）＜0
• C． ef（e）＜2f（2）
• D． f（1）＜2ef（2）

Answer 1

分析 根据条件构造函数F（x）=xe^xf （x），求出函数的导数，得到F′（x）=e^x[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0对x∈[0，+∞）恒成立，得出函数F（x）=xe^xf （x）在[0，+∞）上单调递增，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：构造函数F（x）=xe^xf （x），则F′（x）=e^x[（x+1）f（x）+xf′（x）]，
∵（x+1）f（x）+xf'（x）≥0，
∴F′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，
∴函数F（x）=xe^xf （x）在[0，+∞）上单调递增，
∴F（1）＜F（2），
∴f（1）＜2ef（2），
故选：D．

点评 本题主要考查函数值的大小，结合条件，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性和导数的关系是解决本题的关键．