Question

8．如图四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD．△PAD是正三角形，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD=CD=2AB，点E为PD中点．
（I）证明：CD⊥平面PAD
（II）证明：平面PBC⊥平面PCD
（III）求二面角D-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，可得CD⊥面PAD．
（Ⅱ）如图以AD的中点为原点，OD、OP方向分别为y轴、z轴建立坐标系，设AB=1，
则A（0，-1，0），D（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，-1，0），C（2，1，0）
求出面PBC、面PDC的法向量，利用法向量垂直，得平面PBC⊥平面PCD．
（Ⅲ） 求出两个面的法向量，利用向量夹角公式求解．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∴CD⊥AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD．
（Ⅱ）证明：如图以AD的中点为原点，OD、OP方向分别为y轴、z轴建立坐标系，设AB=1，
则A（0，-1，0），D（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，-1，0），C（2，1，0）
设面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{BC}=（1，2，0），\overrightarrow{BP}=（-1，1\sqrt{3}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=-x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}=（2，-1，\sqrt{3}）$，
设面PDC的法向量为$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2a=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-b+\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}=（0，\sqrt{3，}，1）$．
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2×0+（-1）×\sqrt{3}+\sqrt{3}×1=0$，∴平面PBC⊥平面PCD．
（Ⅲ）设面BDP的法向量为$\overrightarrow{d}=（e，f，h）$，$\overrightarrow{BD}=（-1，2，0）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{d}•\overrightarrow{BD}=-e+2f=0}\\{\overrightarrow{d}•\overrightarrow{BP}=-e+f+\sqrt{3}h=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{d}=（6，3，\sqrt{3}）$，
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{d}＞=\frac{\sqrt{6}}{4}$，二面角D-PB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了空间线面垂直、面面垂直，向量在空间问题中的应用，属于中档题．