Question

18．已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2$\sqrt{3}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的特征可得当点P在点（0，b）时，△APB面积的最大，结合题中的条件可得a、b与c的关系进而得到答案．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），根据题意可设直线AP的方程为y=k（x+2），可得点D与BD中点E的坐标，联立直线与椭圆的方程得，进而表示出点P的坐标，结合点F坐标为（1，0），再写出直线PF的方程，根据点E到直线PF的距离等于直径BD的一半，进而得到答案．

解答 解：（1）根据题意可设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），右焦点F（c，0）．
根据题意可知：当P位于短轴的顶点时，△APB面积的最大，即$\frac{1}{2}$•2a•b=2$\sqrt{3}$，
由a=2，则b=$\sqrt{3}$，∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：根据题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0），
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
设点P的坐标为P（x₀，y₀），则-2x₀=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴x₀=$\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，
由点F坐标为（1，0），
当k=±$\frac{1}{2}$时，点P的坐标为（1，±$\frac{3}{2}$），点D的坐标为（2，±2），
直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x-2）²+（y±1）²=1与直线PF相切．
当k≠±$\frac{1}{2}$时，则直线PF的斜率k_PF=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$，
∴直线PF的方程为y=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$（x-1），
点E到直线PF的距离d=$\frac{丨\frac{8k}{1-4{k}^{2}}-2k-\frac{4k}{1-4{k}^{2}}丨}{\sqrt{\frac{16{k}^{2}}{（1-4{k}^{2}）^{2}}+1}}$=$\frac{丨\frac{2k+8{k}^{2}}{1-4{k}^{2}}丨}{\frac{1+4{k}^{2}}{丨1-4{k}^{2}丨}}$=2丨k丨，
又由丨BD丨=4丨k丨，则d=$\frac{1}{2}$丨BD丨，
故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查中点坐标公式，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．