Question

3．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为$ρcos（{θ-\frac{π}{3}}）=1$，P为C₁与x轴的交点，已知曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=-2+sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），M，N是曲线C₂上的两点且对应的参数分别为θ=α，$θ=α+\frac{π}{2}$，其中α∈R．
（Ⅰ）写出曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）求|PM|²+|PN|²的取值范围．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的极坐标方程为$ρcos（{θ-\frac{π}{3}}）=1$，展开为：$ρ（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=1，利用互化公式可得直角坐标方程．
（II）由方程：x+$\sqrt{3}$y-2=0，可得∴P（2，0）．M（cosα，-2+sinα），N（-sinα，-2+cosα）．利用两点之间距离公式、同角三角函数基本关系式及其三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）曲线C₁的极坐标方程为$ρcos（{θ-\frac{π}{3}}）=1$，
展开为：$ρ（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=1，
化为直角坐标方程：x+$\sqrt{3}$y-2=0．
（II）由方程：x+$\sqrt{3}$y-2=0，令y=0，解得x=2．
∴P（2，0）．M（cosα，-2+sinα），N（-sinα，-2+cosα）．
∴|PM|²+|PN|²=（cosα-2）²+（sinα-2）²+（sinα+2）²+（cosα-2）²=18-8cosα∈[10，26]．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间距离公式、同角三角函数基本关系式及其三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．