Question

3．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1，点A，B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从A点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最长路程是（　　）

• A． 20
• B． 18
• C． 16
• D． 14

Answer 1

分析 根据椭圆的光学性质可知，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a-c）；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）；小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和4a，进而根据椭圆的定义可求得小球经过的最长路程．

解答 解：依题意可知$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1中，a=4，b=3，c=$\sqrt{7}$，设A，B分别为左、右焦点，
则当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，
再回到点A时，小球经过的路程是2（a-c）=2（2-$\sqrt{7}$）；
射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）=2（2+$\sqrt{7}$）；
小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16，
小球经过的最长路程16，
故选C．

点评 本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义，属于基础题．