Question

8．已知定义在（0，+∞）的函数f（x）=|4x（1-x）|，若关于x的方程f²（x）+（t-3）f（x）+t-2=0有且只有3个不同的实数根，则实数t的取值集合是{2，$5-2\sqrt{2}$}．

Answer 1

分析 通过f（x）的图象，研究关于y的二次方程y²+（t-3）y+t-2=0有且只有3个不同的实数根．设g（y）=y²+（t-3）y+t-2，通过对y的取值范围，去对t进行讨论，可得答案．

解答 解：作出f（x）图象，研究关于y的二次方程y²+（t-3）y+t-2=0根的分步．设g（y）=y²+（t-3）y+t-2，t=2时，y=0，y=1，由图象可知显然符合题意．
t＜2时，一正一负根，即g（0）＜0，g（1）＜0，方程的根大于1，
f²（x）+（t-3）f（x）+t-2=0只有1个根，t＞2时，两根同号，只能有一个正根在区间（0，1），而
g（0）=t-2，g（1）=2t-4，其对称轴y=$\frac{3-t}{2}∈（0，1）$，1＜t＜3
△=0，可得t=5$±2\sqrt{2}$
∴$t=5-2\sqrt{2}$．
∴实数t的取值集合是{2，$5-2\sqrt{2}$}
故答案为：{2，$5-2\sqrt{2}$}．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，二次函数的性质，其中根据方程的根与零点零点的关系，将问题转化为确定函数的零点问题，是解答本题的关键．