Question

13．已知圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：y=x+k与曲线C相切，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值，得到P是以M、N为焦点的椭圆，求出椭圆方程即可；
（2）联立直线l和曲线C得到方程组，根据△=0，得到关于k的方程，解出即可．

解答 解：（1）圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，
设动圆P半径为R．
∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R＜3
动圆P与圆M外切，则PM=1+R，
动圆P与圆N内切，则PN=3-R，
∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值．
∴P是以M、N为焦点的椭圆．
∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，
∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴C的方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠-2）；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x+k}\end{array}\right.$，得：7x²+8kx+4k²-12=0，
若直线l和曲线C相切，
则△=64k²-28（4k²-12）=0，
解得：k=±$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和曲线的位置关系，是一道中档题．